Question

如图，在四棱柱中，侧面⊥底面，，底面为直角梯形，其中

，O为中点.

 

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求锐二面角A—C₁D₁—C的余弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）

【解析】

(I)证明,即证:四边形AB1CO为平行四边形.

(II)为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，然后建立直角坐标系,利用向量法求二面角,先求二面角两个面的法向量,然后再求法向量的夹角,根据法向量的夹角与二面角相等或互补来解.

（Ⅰ）证明：如图，连接，

则四边形为正方形，

，且

故四边形为平行四边形，

，

又平面，平面

平面

（Ⅱ）为的中点，，又侧面⊥底面，故⊥底面，

以为原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的坐标系，则

，

，

设为平面的一个法向量，由，得，

令，则

又设为平面的一个法向量，由，得，令

，则，

则，故所求锐二面角A—C1D1—C的余弦值为

注：第2问用几何法做的酌情给分.