Question

如图，在四棱柱中，侧面底面，，底面为直角梯形，其中，，，O为中点.

（1）求证：平面；

（2）求凸多面体的体积.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

(1)连接、、、，推导出四边形为平行四边形，从而，由此能证明平面．
（2）推导出，从而底面,再证明底面，又

，则凸多面体的体积可求.

（1）证明：如图，连接、、、，

则四边形为正方形，所以，

所以四边形为平行四边形，

所以，

又平面，平面，

所以平面

（2）解法一：因为，O为中点，所以，

又侧面底面，所以底面

因为，所以是等腰直角三角形，所以.

易证，又侧面底面，所以底面

解法二：因为，O为中点，所以，

又侧面底面，所以底面

因为且，所以且

所以四边形为平行四边形，又

所以四边形为矩形

作于点E，因为底面，所以，

且，所以面

所以四棱锥