Question

在平面直角坐标系中，点在轴正半轴上，点在轴上，其横坐标为，且是首项为1、公比为2的等比数列，记，.

（1）若，求点的坐标；

（2）若点的坐标为，求的最大值及相应的值.

Answer

（1）点的坐标为或（2）当时，最大，其最大值为

【解析】

（1）设,根据题意可知,根据可知.进而由正切的差角公式表示出.即可解关于的方程,求得点的坐标.

（2）表示出点的坐标及,即可表示出.结合基本不等式,即可求得的最大值.进而由正切函数的单调性求得的最大值及相应的值.

（1）设,根据题意,

由,知

而

所以,解得或

故点的坐标为或

（2）由题意,点的坐标为,

.

因为,所以

当且仅当,即时等号成立

易知,在上为增函数

因此,当时,最大,其最大值为