Question

已知椭圆C：（）的焦距等于短轴的长，椭圆的右顶点到左焦点的距离为．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知直线l：（）与椭圆C交于A、B两点，在y轴上是否存在点，使得，且，若存在，求实数t的取值范围；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）（2）存在，

【解析】

（1）由题意可得的关系,解方程组求得,即可得椭圆的标准方程.

（2）设,,联立直线与椭圆方程,用韦达定理表示出,,利用弦长公式表示出.化简后用表示出,再通过判别式判断出的取值范围. 设出中点的坐标,由点斜式表示出直线的方程,并令求得的表达式及取值范围即可.

（1）依题意椭圆的焦距等于短轴的长,椭圆的右顶点到左焦点的距离为

可得,

解得,

所以所求椭圆方程为；

（2）设,,

由,

得,

,

∵,,

假设存在点满足题意,

,

化简整理得,

此时

恒成立,

所以且,

设中点,

则,,

由,则在线段AB的中垂线上.

因为,

直线的方程为,

令,则,

∴,

∵,

∴,

∴,

∴,

∴或,

综上,存在满足题意.