Question

已知函数（为常数）.

（1）求函数的定义域；

（2）若，试证明函数在上是增函数；

（3）若函数的最小值为，求实数的值.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）

【解析】

(1)由函数解析式可直接求得函数定义域；

(2)利用增函数的概念直接证明即可得出答案；

(3)分类讨论和，利用时可排除，当时，令利用二次函数最值问题求参数.

【解析】
（1）由函数解析式可得函数对任意实数都有意义，所以函数的定义域为实数集.

（2）任取，则，因为，则，即，又，所以可得，即.所以函数在上是增函数.

（3）①当时，，则不合题意；

②当时，令，记，则当，，故有，得，由上知.

综上可得当函数的最小值为时实数.