Question

如图1，已知正方形铁片边长为2a米，四边中点分别为E，F，G，H，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形ABCD（两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形ABCD的四边折起，使E，F，G，H四点重合，记为P点，如图2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO⊥底面ABCD，O为正四棱锥底面中心，设正方形ABCD的边长为2x米.

（1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积S；

（2）请写出正四棱锥的体积V关于x的函数，并求V的最大值.

Answer

（1）；（2）. .

【解析】

（1）连接OH交BC于点H′，由正方形ABCD边长为2x，所以HH′=a－x.

可得的长及的长，由得可得的值，可得正四棱锥的全面积，计算可得答案；

（2）可得，可得关于的函数，对其求导，利用导数可得V的最大值.

【解析】
在图1中连接OH交BC于点H′，

因为正方形ABCD边长为2x，所以HH′=a－x.

在图2中，OH′=x，PH′=a－x，

由勾股定理得，正四棱锥的高

.

（1）在直角三角形中，，

所以，

由得，，

整理得，，解得（舍去）.

所以，正四棱锥的全面积

平方米.

（2），

所以.

因为，设，

则，

令得，，当时，，在区间上递增；

当时，，在区间上递减.

所以当时，取得最大值，此时立方米.