Question

已知函数，其中，e为自然对数的底数.

（1）当时，求在处的切线方程；

（2）求函数的单调区间；

（3）若存在()，使得，证明：.

Answer

（1）；（2）当时，的递增区间是，无递减区间；当时，的递增区间是和，递减区间是；（3）证明见解析.

【解析】

（1）对求导，可得与的值，可得在处的切线方程；

（2）令，可得，对其分，进行讨论，可得的取值范围及的单调区间；

（3）由（2）知，，且，可得关于的函数，对其求导可得其单调性，可得证明.

【解析】
因为时，对恒成立，

所以定义域为，且，

（1）当时，，，所以，

所以在处的切线方程为：.

（2）令得，， （※）

①当，即时，又，

所以时，，在上单调递增；

②当，解得或，又，所以时，

由方程（※）解得，，，

当时，，的递增区间是；

当时，，的递减区间是.

综上，当时，的递增区间是，无递减区间；

当时，的递增区间是和，递减区间是.

（3）由（2）知，，且，

所以，

因为，，代入上式得

，

令，，

则，

所以在上单调递增，

所以，即证得.