Question

已知数列和都是等差数列，.数列满足.

（1）求的通项公式；

（2）证明：是等比数列；

（3）是否存在首项为1，公比为q的等比数列，使得对任意，都有成立？若存在，求出q的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）存在，.

【解析】

（1）设的公差为d，可得，， 由是等差数列，可得成等差数列，可得，求出的值，可得的通项公式；

（2）将展开，可得，将代入此式子相减，可得，再将代入此式子相减，可得，此时，验证时也满足可得是等比数列；

（3）设存在对任意，都有恒成立，即，，易得，由由得，，可得设，对其求导，可得其最小值，可得q的取值范围.

【解析】
（1）因为数列是等差数列，设的公差为d，则

，，

因为是等差数列，所以成等差数列，

即，，

解得，当时，，此时是等差数列.

故.

（2）由，即， ①

所以， ②

②-①得，， ③

所以，， ④

④-③得，，即时，，

在①中分别令得，，也适合上式，

所以，，

因为是常数，所以是等比数列.

（3）设存在对任意，都有恒成立，

即，，

显然，由可知，，

由得，，.

设，因为，

所以当时，，递增；

当时，，递减.

因为，所以，

解得，

综上可得，存在等比数列，使得对任意，都有恒成立， 其中公比的取值范围是.