Question

已知直角三角形 两直角边长之和为3，将绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为__________，此时该旋转体外接球的表面积为___________.

Answer

【解析】

设直角三角形的两边分别为,则,假设以长度为的直角边为轴旋转形成的旋转体,则体积为,利用导函数即可求得最值；设外接球的半径为,则满足,进而求解即可.

设直角三角形的两边分别为,则,以长度为的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为,

则,令,解得或,

所以当时,；当时,,

所以当时,体积最大,最大值为,此时圆锥的底面半径为2,高为1,

设外接球的半径为,则,所以外接球的半径为,其表面积为

故答案为:；