Question

已知分别为椭圆的左右顶点，为上异于的点，且直线与的斜率乘积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）若为椭圆的上顶点，为的右焦点，的面积为1，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）或

【解析】

（1）由题可得左右顶点为,设,则,利用斜率公式处理,可求得,即可求得椭圆方程；

（2）分别讨论直线斜率不存在与存在的情况,利用弦长公式和点到直线距离求三角形面积,进而求解即可.

（1）由题意知,设,则,

因为,解得，

故椭圆方程为

（2）由题,上顶点为,右焦点为,

当直线斜率不存在时,方程为,易知此时面积为1,符合题意；

当直线斜率存在时,设方程为,

联立,得,解得,

∴,点到直线的距离为,

由,解得,

此时,即

故直线的方程为或