Question

如图，三棱柱中，，.

（1）证明：；

（2）若，在线段上是否存在一点，使二面角的余弦值为？若存在，求的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）存在，

【解析】

（1）取的中点,连接,由题可得为等边三角形,则,利用平行的传递性可得,则平面,进而,由三角形的性质即可得证；

（2）设,则,易得以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,设,由平面的法向量和平面的法向量,利用数量积求得夹角,进而求解即可.

（1）证明:取的中点,连接,

∵,,

∴为等边三角形,∴,

又∵,,∴,

又,∴平面,

又平面,∴,

∵为中点,∴

（2）存在,

设,则,

∵,∴,又,∴,

以为原点,分别为轴建立空间直角坐标系,如图所示,

则,

因为在线段上,设,

则,

设平面的法向量为,则由,即,

取,则,

易知平面的法向量为,

当,即时,二面角的平面角为,

则,解得或（舍）,

所以存在点满足条件,这时