Question

已知函数.

（1）当时，不等式成立，求整数的最大值；（参考数据：）；

（2）证明：当时，.

Answer

（1）最大值为3；（2）见解析

【解析】

（1）先求导可得,设,由可判断在上为增函数,由可得使得,则,进而求解即可；

（2）要证,即证,设,利用导函数判断的单调性,由,进而求解即可.

（1）当时,,

令,则,

因此在上为增函数,

又,

∴使得,即,

当时,,为减函数；当时,,为增函数；

∴,所以整数的最大值为3

（2）法一：要证,即证,

令,则,

令,则,,

∵,∴在上为增函数,又,∴,

∴在上为增函数,又,∴,

∴在上为增函数,又,∴,即,

∴在上为增函数,∴,故.