在极坐标系
中，直线
的方程分别为
，曲线
.
以极点
为坐标原点，极轴为
轴的正半轴，建立平面直角坐标系.
（1）将直线的方程与曲线
的方程化成直角坐标方程；
（2）过曲线上动点
作直线的垂线，求由这四条直线围成的矩形面积的最大值.
已知函数
.
（1）当
时，不等式
成立，求整数
的最大值；（参考数据：
）；
（2）证明：当时，
.
某人某天的工作是：驾车从
地出发，到
两地办事，最后返回地，
三地之间各路段行驶时间及当天降水概率如表：
路段 | 正常行驶所需时间（小时） | 上午降水概率 | 下午降水概率 |
| 2 | 0.3 | 0.6 |
| 2 | 0.2 | 0.7 |
| 3 | 0.3 | 0.9 |
若在某路段遇到降水，则在该路段行驶的时间需延长1小时，现有如下两个方案：
方案甲：上午从地出发到
地办事，然后到达
地，下午在地办事后返回地；
方案乙：上午从地出发到地办事，下午从地出发到达地， 办事后返回地.
（1）设此人8点从地出发，在各地办事及午餐的累积时间为2小时.且采用方案甲，求他当日18点或18点之前能返回地的概率；
（2）甲、乙两个方案中，哪个方案有利于办完事后能更早返回地？
如图，三棱柱
中，
，
.
（1）证明：
；
（2）若
，在线段
上是否存在一点
，使二面角
的余弦值为
？若存在，求
的值，若不存在，请说明理由.
已知
分别为椭圆
的左右顶点，
为
上异于的点，且直线
与
的斜率乘积为
.
（1）求椭圆的方程；
（2）若
为椭圆的上顶点，
为的右焦点，
的面积为1，求直线
的方程.
已知
是正项数列
的前
项和，且对任意
，均有
.
（1）求
；
（2）求数列
的前项和
.
