Question

已知椭圆的两个焦点为、，是与的等差中项，其中、、都是正数，过点和的直线与原点的距离为.

（1）求椭圆的方程；

（2）点是椭圆上一动点，定点，求△面积的最大值；

（3）已知定点，直线与椭圆交于、相异两点.证明：对任意的，都存在实数，使得以线段为直径的圆过点.

Answer

（1）；（2）；（3）证明见解析

【解析】

（1）由是与的等差中项得到，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式，列出方程，求得的值，即可得到椭圆的方程；

（2）当椭圆上的点到直线距离最大时，△面积取得最大值，设出平行直线，即可得到结论；

（3）将直线的方程代入椭圆的方程，利用韦达定理及向量知识，结合判别式，即可得到结论.

（1）由是与的等差中项，可得

过点和的直线方程为，即，

又由该直线与原点的距离为，由点到直线的距离公式得

解得，所以椭圆方程为.

（2）由（1）得，直线的方程为，且，

当椭圆上的点到直线距离最大时，△面积取得最大值

设与直线平行的直线方程为，

将其代入椭圆方程，得，

由，解得，

当时，椭圆上的点到直线距离最大为，

此时△面积为.

（3）将代入椭圆方程，得，

由直线与椭圆有两个交点，所以，解得

设、，则，，

因为以为直径的圆过点，所以，即，

而，

所以，解得，

如果对任意的都成立，则存在，使得以线段为直径的圆过点，

又因为，即，

所以对任意的，都存在使得以线段为直径的圆过点.