Question

已知，为两非零有理数列（即对任意的，均为有理数），为一无理数列（即对任意的，为无理数）．

（1）已知，并且对任意的恒成立，试求的通项公式．

（2）若为有理数列，试证明：对任意的，恒成立的充要条件为．

（3）已知，，对任意的，恒成立，试计算．

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）．

【解析】

试题（1）直接运用题设中的条件解方程求解；（2）借助题设条件运用充分必要条件进行求解；（3）依据题设条件和三角函数的有关知识进行综合求解

试题解析：（1）∵，∴，即

∴，∵，∴，∴．

（2）∵，∴，

∴，∴，

∵为有理数列，∴，∴，以上每一步可逆．

（3），

∴，∴或

∵，∴，

当时，∴

当时，∴

∴为有理数列，

∵，∴，

∴，∵为有理数列，为无理数列，

∴，∴，

∴

当时，∴

当时，∴，

∴