Question

已知函数（其中且）.

（1）判断函数的奇偶性并证明；

（2）若，求的值域.

Answer

（1）非奇非偶函数，见解析； （2）当时，值域为；当时，值域为.

【解析】

（1）先求出函数的定义域，然后结合和的关系式，即可作出判定与证明.

（2）分和可得原函数的单调性，结合函数的单调性，即可得到函数的值域.

（1）由题意，函数（其中且）的定义域为，

又由，

若为偶函数，则恒成立，故即，矛盾；

若为奇函数，则恒成立，故，

整理得到；，此方程最多有两解，矛盾，

所以函数（实数且）为非奇非偶函数.

（2）由题意，当时，可得函数为单调递减函数，

当时，，且，所以函数的值域为；

当时，可得函数为单调递增函数，

当时，，所以函数的值域为，

所以当时，函数的值域为；

当时，函数的值域为.