Question

已知函数（实数），

（1）若，请判断函数在区间上的单调性并证明；

（2）若且时，函数的定义域和值域都，求的最大值.

Answer

（1）单调递增，见解析； （2）.

【解析】

（1）利用函数的单调性的定义，即可证得函数为在区间上为单调递增函数；

（2）把问题转化为方程在上有两个相异的正实数根，求出的范围后可得的最大值.

（1）由题意，不妨设，

则，

因为，所以，

所以，即，

所以函数在区间上为单调递增函数.

（2）的定义域和值域都是，且函数单调递增，

所以，即方程在上有两个相异的正实数根，

则，整理得，

故，解得.

又，

因为，故当时，，

的最大值为.