Question

已知函数，，

（1）求的解析式；

（2）关于的不等式的解集为一切实数，求实数的取值范围；

（3）关于的不等式的解集中的正整数解恰有个，求实数的取值范围.

Answer

（1）； （2）； （3）.

【解析】

（1）根据函数的解析式进行化简，即可求解；

（2）由（1）化简，并分离参数，利用换元法，构造法求出函数的最值，即可求解；

（3）由（1）化简，结合条件将不等式化为，利用函数的性质，列出不等式，即可求解.

（1）由题意，函数，，则，

所以函数的解析式；

（2）由（1）和，可得，

即的解集为，

设，则，即，

又由函数在为单调递增函数，

所以当时，函数的最小值为，则，

即实数的取值范围是.

（3）由（1）和，可得，

因为不等式的解集中正整数解恰好由3个，

所以当时，有，

若，则该不等式在上恒成立，与题设矛盾.

故，所以，

设不等式的解集为，

又由函数的性质和条件，

可得，所以，

解得，即实数的取值范围是.