Question

已知椭圆，圆心为坐标原点的单位圆O在C的内部，且与C有且仅有两个公共点，直线与C只有一个公共点.

（1）求C的标准方程；

（2）设不垂直于坐标轴的动直线l过椭圆C的左焦点F，直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中垂线交x轴于点P，求的值.

Answer

(1) (2)

【解析】

（1）利用单位圆的性质求得，利用直线和椭圆联立方程后关于的方程只有一个解，判别式为列方程，由此求得.进而求得椭圆的标准方程.

（2）设出直线的方程，代入椭圆方程，写出韦达定理，求得中点的坐标，利用中垂线的斜率列方程，求得点的横坐标，由此求得.利用弦长公式求得，进而求得的值.

（1）依题意，得

将代入椭圆的方程，得

由，解得

所以椭圆的标准方程为

（2）由（1）可得左焦点

由题意设直线的方程为，

代入椭圆方程，得

设，则

所以,AB的中点为

设点，则，

解得

所以

又

所以