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已知函数． （1）讨论的单调性； （2）若有两个不同的零点，求的取值范围．

已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有两个不同的零点，求的取值范围．

 

（1）见解析（2） 【解析】 （1）求出函数的定义域以及导函数，根据导数与函数单调性的关系，分类讨论，，，，可求得的单调性 （2）由（1）求得在，，，时，函数的单调区间，讨论出零点的个数，从而求得实数的取值范围． 解析：（1） ①，，，，单调递增；，，单调递减 ②，或，当，，单调递减；，，单调递增；，，单调递减 ③，，在单调递减 ④，或，当，，单调递减； ，，单调递增； ，，单调递减 （2）由（1）得当时，在定义域上只有一个零点 ，由（1）可得，要使有两个零点，则 ∴ 下证有两个零点 取，，满足，故在有且只有一个零点 ，满足，故在有且只有一个零点 当时，由（1）可得，，故在无零点， 又因为在单调递减， ∴在至多一个零点，不满足条件 当时，，故在上无零点， 又因为在单调递减，∴在至多一个零点，不满足条件 ∴满足条件的取值范围
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