Question

已知三棱柱中，，，，，，分别为棱的中点

（1）求证：

（2）求直线与所成的角

（3）若为线段的中点，在平面内的射影为，求

Answer

（1）见解析；（2）45°；（3）．

【解析】

（1）由AC⊥AB，AC⊥AA1即可得出AC⊥平面ABB1A1，于是AC⊥A1B；

（2）以A为原点建立坐标系，求出和 的坐标，计算cos即可得出直线EF与A1B所成的角；

（3）求出和平面EFG的法向量，则sin∠HA1A＝|cos，|．

（1）∵AA1⊥底面ABC，AC⊂平面ABC

∴AC⊥AA1．

∵∠BAC＝90°，∴AC⊥AB．

又A1A⊂平面AA1B1B，AB⊂平面AA1B1B，A1A∩AB＝A，

∴AC⊥平面A1ABB1．

∵A1B⊂平面A1ABB1，

∴AC⊥A1B．

（2）以A为原点建立空间直角坐标系A—xyz，如图所示：

则A1（0，0，1），，，．

∴，．

∴．

直线EF与A1B所成的角为45°．

（3），，．（0，0，1）．

设平面GEF的法向量为（x，y，z），

则 ，∴

令，则．

∴cos．

∵A1在平面EFG内的射影为H，∴∠HA1A为AA1与平面EFG所成的角的余角，

∴cos∠HA1A＝|cos|．

∴∠HA1A．