Question

已知函数．

（1）若函数在点处的切线平行于直线，求切点的坐标及此切线方程；

（2）求证：当时，；（其中）

（3）确定非负实数的取值范围，使得，成立．

Answer

（1）点，切线方程为；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

（1）根据函数在某点导数的几何意义，可得切线的斜率以及点，然后可得结果.

（2）构建新的函数，通过导数判断新函数的单调性，并计算新函数的最值，可得结果.

（3）构建函数，采用分类讨论与，并利用导数判断函数的单调性，可得结果.

（1）由，则

由题可知：

所以切线方程为，点

（2）当时，

则在恒成立

即在恒成立

令

所以

令或（舍）

当时，

当时，

所以可知在递增，在递减

且，

所以在中，

故可知

所以当时，

（3）由，成立

则在恒成立

令

则

当时，，

则在单调递增，所以

所以，成立

当时，

令，则或（舍）

若时，

当时，

所以在递减，在递增，

又，所以，

所以，不成立

综上所述：