Question

若对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，则称是“回归数列”.

（1）①前项和为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；

②通项公式为的数列是否是“回归数列”?并请说明理由；

（2）设是等差数列，首项，公差，若是“回归数列”，求的值；

（3）是否对任意的等差数列，总存在两个“回归数列”和，使得成立，请给出你的结论，并说明理由.

Answer

（1）①是；②是；（2）；（3）见解析.

【解析】

（1）①利用公式和 ，求出数列的通项公式，按照回归数列的定义进行判断；

②求出数列的前项和，按照回归数列的定义进行判断；

（2）求出的前项和，根据是“回归数列”，可得到等式，通过取特殊值，求出的值；

（3）等差数列的公差为，构造数列，可证明

、是等差数列，再利用等差数列前项和，及其通项公式，回归数列的概念，即可求出.

（1）①当时，，

当时，，当时，，，所以数列是“回归数列”；

②因为，所以前n项和，根据题意，

因为一定是偶数，所以存在，使得，

所以数列{}是“回归数列”；

（2）设是等差数列为，由题意可知：对任意的正整数，总存在正整数，使得数列的前项和，即，取，得，解得，公差，所以，又；

（3）设等差数列=，

总存在两个回归数列，显然和是等差数列，使得，

证明如下：，

数列{}前n项和，

时，为正整数，当时，，

所以存在正整数，使得，所以{}是“回归数列”，

数列{}前n项和，存在正整数，使得，所以{}是“回归数列”，所以结论成立.