Question

如图1，在平面四边形ABCD中，，，且.将沿BD折成如图2所示的三棱锥，使.

（1）证明：；

（2）求三棱锥与三棱锥的高的比.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）取BD的中点M，后通过证明，，得线面垂直，从而有线线垂直；

（2）由（1）得上平面，因此取中点，作交延长线于，可证和就是相应的高，求出它们与的关系后可得结论．

（1）证明：在平面四边形ABCD中，，，所以为正三角形，在三棱锥中，取BD的中点M，连接AM，，则，，，所以平面，从而.

（2）由于，可求得，，又，

为等腰三角形，且.如图，取AM的中点O，连接，则，又，所以平面ABD，则为三棱锥的高，求得.

由平面，知平面上平面，为交线，在平面中，过A点作，交的延长线于N点，则平面，从而AN为三棱锥的高，求得.

所以三棱锥与三棱锥的高的比为.