Question

如图，在多面体中，是等边三角形，是等腰直角三角形，，平面平面，平面.

（1）求证：；

（2）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

（1）取的中点,可证得四点共面，再证平面，从而证得结论；（2）建立空间直角坐标系，求解出平面的法向量，则通过线面角的向量求法求得结果.

（1）证明：取的中点,连接

是等边三角形

是等腰直角三角形且

平面平面，平面平面，平面

平面

平面 四点共面

,, 平面

平面

（2）作,垂足为,则

是等边三角形，

在中,.

是等腰直角三角形，

如图,以点为坐标原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴,建立空间直角坐标系

则,,,

,,

设平面的法向量为

由, 得

令,得

是平面的一个法向量

设直线与平面所成角为

则

直线与平面所成角的正弦值为