已知数列满足对任意的都有，且．（1）求数列的通项公式；（2）设数列的前项和为...

已知数列满足对任意的都有，且．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列的前项和为，不等式对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．

（1）（2）【解析】试题（1）当n=1，n=2时，直接代入条件且，可求得；（2）递推一项，然后做差得，所以；由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故求得数列的通项公式；（3）由（2）知，则，利用裂项相消法得，根据单调递增得，要使不等式对任意正整数n恒成立，只要，即可求得实数a的取值范围. 试题解析：（1）【解析】当时，有，由于，所以．当时，有，将代入上式，由于，所以．（2）【解析】由于，① 则有．② ②－①，得，由于，所以③ 同样有，④ ③－④，得．所以．由于，即当时都有，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列．故．（3）【解析】由（2）知，则，所以，∴数列单调递增． . 要使不等式对任意正整数n恒成立，只要． . ，即. 所以，实数a的取值范围是．

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考点分析：

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