Question

已知三棱锥的展开图如图二，其中四边形为边长等于的正方形，和均为正三角形，在三棱锥中：

（1）证明：平面平面；

（2）若是的中点，求二面角的余弦值．

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）设的中点为，连接，，由边长关系得，从而可得平面，即可证明平面平面；

（2）由（1）问可知平面，所以以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，利用向量法求出平面和平面的法向量，再利用二面角的公式即可得到二面角的余弦值．

（1）设的中点为，连接，，

由题意，得，，．

因为在中，，为的中点，所以，

因为在中，，，，

，所以

因为，，平面，所以平面，

平面，所以平面平面

（2）由（1）问可知平面，所以，，，于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图示空间直角坐标系，

则，，，，，，

，，

设平面的法向量为，则

由得：．令，得，，即

．

设平面的法向量为，由得：

，令，得，，即

．由图可知，二面角的余弦值为．