Question

已知双曲线：的左、右焦点分别是、，左、右两顶点分别是、，弦AB和CD所在直线分别平行于x轴与y轴，线段BA的延长线与线段CD相交于点如图)．

⑴若是的一条渐近线的一个方向向量，试求的两渐近线的夹角；

⑵若，，，，试求双曲线的方程；

⑶在⑴的条件下，且，点C与双曲线的顶点不重合，直线和直线与直线l：分别相交于点M和N，试问：以线段MN为直径的圆是否恒经过定点？若是，请求出定点的坐标；若不是，试说明理由．

Answer

⑴ ⑵ ⑶圆过x轴上两个定点和

【解析】

⑴ 可得，从而，，即

⑵ 求得即，从而得，代入双曲线方程知：即可；

⑶ 可得的方程为：，求得，，

令，所以，

以MN为直径的圆的方程为：，

于是，

即可得圆过x轴上两个定点．

【解析】
⑴ 双曲线的渐近线方程为：

即，所以，

从而，，

所以

⑵ 设，则由条件知：，，即

所以，，

代入双曲线方程知：

双曲线的方程： 

⑶ 因为，所以，由⑴知，，所以的方程为：，

令，所以，，令，所以，，令，所以，

故以MN为直径的圆的方程为：，

即，

即，

若以MN为直径的圆恒经过定点

于是

所以圆过x轴上两个定点和