Question

如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，O是AD的中点.

（1）在线段PA上找一点E，使得平面PCD，并证明；

（2）在（1）的条件下，若，求平面OBE与平面POC所成的锐二面角的余弦值.

Answer

（1）E是线段PA的中点，证明详见解析；（2）.

【解析】

（1）是线段的中点；连接，，，证明平面平面后即可得证；

（2）建立空间直角坐标系，表示出、、、、的坐标后，分别求出平面的一个法向量与平面的一个法向量，利用即可得解.

（1）是线段的中点，

证明：连接，，，

是的中点，，

又平面，平面，

平面，

又底面是直角梯形，，，

又平面，平面，

平面，

平面，平面，，

平面平面，

又平面，

平面.

（2）平面平面，，

，平面，且，，

以为原点，如图建立空间直角坐标系，

得，，，，，

得，，

设是平面的一个法向量，

则，得，取，

得，

又易知是平面的一个法向量，

设平面与平面所成的锐二面角为，

则，

即平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.