Question

已知函数.

（1）讨论函数的极值点的个数；

（2）当函数有两个极值点，时，求证：.

Answer

（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）对求导得，令，再对求导，根据的取值范围确定的正负，即可得解；

（2）不妨设，由题意，对函数求导后可得即，由、单调性可得，再令，求导后可得，即可得证.

（1），.

设，则.

令，解得.

当时，；当时，.

.

当时，，函数单调递增，没有极值点；

当时，，

且当时，；当时，.

当时，有两个零点，即函数有两个极值点.

综上，当时，函数的极值点的个数为0；当时，函数的极值点的个数为2.

（2）由（1）知，、为的两个实数根，不妨设，在上单调递减.

下面先证，只需证.

，

得，.

设，，

则，在上单调递减，

，，.

函数在上也单调递减，.

要证，只需证，

即证.

设函数，，则.

设，则.

在上单调递增，，即.

在上单调递增，.

当时，，

，.