Question

设命题函数的值域为；命题不等式对一切正实数均成立，若命题和不全为真命题，则实数的取值范围是__________．

Answer

【解析】

根据对数型复合函数值域可知是的值域的子集，根据二次函数图象分析可得不等关系，求得命题为真时，；利用换元法将转化为，求解的最值可求得命题为真时，；求出当全为真时的范围，取补集得到结果.

若命题为真，即值域为

当时，，解得：，满足题意

当时，，解得：

综上所述：若命题为真，则

若命题为真，即不等式对恒成立

令，则

即若命题为真，则

当命题全为真命题时，

命题不全为真命题 的取值范围为：

故答案为：