Question

已知函数是单调递增函数，其反函数是．

（1）若，求并写出定义域；

（2）对于⑴的和，设任意，，，求证：；

（3）已知函数和的图象有交点，求证：它们的交点一定在直线上．

Answer

(1)，；(2)证明见详解；(3)证明见详解.

【解析】

（1）根据反函数的求解过程，即可求得，再求原函数值域，即为反函数的定义域；

（2）根据（1）中所求，用分析法将不等式进行不断转换，即可证明；

（3）根据互为反函数的两个函数的特点，以及函数单调性，即可证明.

（1）因为，故可得，又因为

故，故；

又因为在时，单调递增，故其值域为

故的定义域为；

综上所述：，.

（2）由（1）可知，

要证

即证

也就是证

因为，故，则，同理可得

故成立，

则原不等式成立，即证.

（3）证明：设是函数与的交点，

故可得

故可得

即过点和

又因为是单调第增函数，

故当时，，即，这与题设矛盾；

当时，，即，这也与题设矛盾；

当时，，即，满足题意.

综上所述，若与有交点，则交点一定在直线上，即证.