Question

若函数，，对任意的，总存在，使得，则称函数具有性质．

（1）判断函数和是否具有性质，说明理由；

（2）若函数，具有性质，求的值；

（3）若函数（）在实数集上具有性质，求的取值范围．

Answer

(1) 具有性质，不具有性质，理由见详解；(2)；(3).

【解析】

（1）对函数根据性质的定义容易证明；对函数只需举反例即可说明；

（2）根据函数的单调性，结合性质的定义，解方程即可求得；

（3）一方面要保证函数的定义域为，另一方面要保证性质，据此列不等式组求解即可.

（1）函数的定义域为，又

若，则，

对任意的，总存在，使得

故函数具有性质.

函数的定义域为,

令，则，不存在，

使得，

故不具有性质.

（2）因为，是单调增函数，

若其具有性质，只需

解得，故.

（3）等价于

故

因为，要使得函数（）在实数集上具有性质

则一方面要保证函数定义域为，

则只需要分母不为零，在上恒成立，故，解得;

另一方面要保证关于的方程有两个不同实数根，

故，解得.

综上所述：.