Question

定义在D上的函数，如果满足：对任意，存在常数，都有成立，则称是D上的有界函数，其中M称为函数的上界已知函数

当，求函数在上的值域，并判断函数在上是否为有界函数，请说明理由；

若函数在上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．

Answer

（1）见解析；（2）

【解析】

(1)当a＝1时，f(x)＝1＋

因为f(x)在(－∞，0)上递减，所以f(x)>f(0)＝3，即f(x)在(－∞，0)的值域为(3，＋∞)，

故不存在常数M>0，使|f(x)|≤M成立，

所以函数f(x)在(－∞，0)上不是有界函数．

(2)由题意知，|f(x)|≤3在[0，＋∞)上恒成立．

－3≤f(x)≤3，－4－≤a·≤2－，所以－4·2x－≤a≤2·2x－在[0，＋∞)上恒成立．所以≤a≤，

设2x＝t，h(t)＝－4t－，p(t)＝2t－，由x∈[0，＋∞)得t≥1，设1≤t10，p(t1)－p(t2)＝<0，所以h(t)在[1，＋∞)上递减，p(t)在[1，＋∞)上递增，h(t)在[1，＋∞)上的最大值为h(1)＝－5，p(t)在[1，＋∞)上的最小值为p(1)＝1，所以实数a的取值范围为[－5，1]．