Question

己知函数.

（1）判断函数在上的单调性；

（2）若，求证：当时，.

Answer

（1）单调递减；（2）证明见解析

【解析】

（1）求导得到，令，证明在上恒成立，得到答案.

（2）先证明当时，，再证明当时，，得到答案.

（1），

令，则，

故当时，，当时，，

故，故在上恒成立，故，

即函数在上单调递减.

（2）依题意，.

下面证明：①当时，；②当时，；

，则，所以在上单调递增，

，则，

又，则，

令，则，

由，得的极小值点为，若，则，

则，故，

若，即，则在上单调递减，故.

综上所述，当时，，

则，即.