Question

已知椭圆的离心率为，左顶点为A，右焦点为F，且|AF|=3．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过点F做互相垂直的两条直线l₁，l₂分别交直线l：x=4于M，N两点，直线AM，AN分别交椭圆于P，Q两点，求证：P，F，Q三点共线．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析

【解析】

（Ⅰ）根据离心率和|AF|＝3，可得a＝2，c＝1，从而求出椭圆的方程；

（Ⅱ）设l1：y=k1（x-1），联立l1和椭圆的方程，得P坐标，因为直线l1，l2垂直，同理得Q坐标.且F（1，0），所以按和分类讨论，判断即可.

（Ⅰ）设椭圆的半焦距为c，依题意：，

得b2=a2-c2=3，所以椭圆的方程是．

（Ⅱ）由题意可知，直线l1，l2的斜率均存在且不为0，A（-2，0），F（1，0），设l1，l2的斜率分别为k1，k2，则k1•k2=-1．

直线l1的方程为y=k1（x-1），则M点坐标为（4，3k1），得，设直线AM的方程为，

由得：

因为x=-2是方程的根，所以，．同理可得．

当，即时，可得，又F（1，0），所以 P，F，Q三点共线；

当，即，时，，

，得kQF=kPF，所以 P，F，Q三点共线；

综上所述：P，F，Q三点共线.