Question

如图，在菱形中，，是的中点，平面，且在矩形中，，.

（1）求证：；

（2）求证：平面；

（3）求二面角的大小.

Answer

（1）证明见解析（2）证明见解析（3）60°

【解析】

(1)连接，再证明平面，利用线面垂直的性质，即可证得；

(2)设与交于，连结，由已知可得四边形是平行四边形，则可证是的中位线，由线面平行的判定定理，即可证得；

(3)由于四边形是菱形，是的中点，可得，故可以为原点建立空间直角坐标系，由几何关系，可写出相应点的坐标，用向量法即可求解.

【解析】
（1）连结，则.

由已知平面，

因为，

所以平面.

又因为平面，

所以.

（2）设与交于，连结，

由已知可得四边形是平行四边形，

所以是的中点.

因为是的中点，

所以.

又平面，

平面，

所以平面.

（3）由于四边形是菱形，是的中点，可得.

所以由几何关系可建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，.

所以.

设平面的法向量为.

则

所以

令，则

所以.

又因平面的法向量，

所以.

所以由上及图可知二面角的大小是60°.