Question

已知函数．

(1)若,求函数的单调区间;

(2)若对恒成立,求的取值范围．

Answer

(1)见解析(2)

【解析】

试题(1)求导,考虑.分类讨论的符号,即可得函数的单调性;(2),令, 由,可知在有且仅有一个零点,设为,利用讨论函数的单调性并求出最小值,即可得出结论.

试题解析：

(1)函数的定义域为. 若,

则,

考虑.

当时,,即,故恒成立,

此时在单调递增.

当时, ,即方程有2个根,

由根与系数之间的关系可得,

即,

故时,,

此时在单调递增.

当时, ,

即方程有2个根,

由根与系数之间的关系可得,

即,

当或时,单调递增,

当时,单调递减.

此时在单调递增.

综上时,的单调增区间为.

当时,的单调增区间为,

的单调减区间为.

(2) 若,则,

则令, 由,可知在有且仅有一个零点,设为,

当时,,即,故在单调递减,

当时,,即,故在单调递增,

所以

又即

依题意,即,

易知在单调递增,

且,故, 又,即,

易知在上单调递减,所以.