Question

各项均为非负整数的数列同时满足下列条件：

① ；② ；③是的因数（）．

（1）当时，写出数列的前五项；

（2）若数列的前三项互不相等，且时，为常数，求的值；

（3）求证：对任意正整数，存在正整数，使得时，为常数．

Answer

（1）5，1，0，2，2. （2）的值为.（3）见解析

【解析】

（1）由题意得 而2是的因数，所以 ，依次求出后三项，（2）由前三项互不相等，可分类讨论：这四种情况即可，（3）令，则为正整数，易得为单调递减数列（可相等），当首项确定时，当时，必有成立.而当成立时，可得常数.

【解析】
（1）5，1，0，2，2.

（2）因为，所以，

又数列的前3项互不相等，

当时，

若，则，

且对，都为整数，所以；

若，则，

且对，都为整数，所以；

当时，

若，则，且对，都为整数，所以，不符合题意；

若，则，

且对，都为整数，所以；

综上，的值为.

（3）对于，令，

则.

又对每一个，都为正整数，所以 ，其中“”至多出现个.故存在正整数，当时，必有成立.

当时，则.

从而.

由题设知，又及均为整数，

所以 ，故常数.

从而常数.

故存在正整数，使得时，为常数.