Question

在平面直角坐标系下，已知圆O：，直线l：（）与圆O相交于A，B两点，且.

（1）求直线l的方程；

（2）若点E，F分别是圆O与x轴的左、右两个交点，点D满足，点M是圆O上任意一点，点N在线段上，且存在常数使得，求点N到直线l距离的最小值.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

（1）等价于圆心O到直线l的距离，再由点到直线的距离公式求解即可；

（2）先设点，再结合题意可得点N在以为圆心，半径为的圆R上，再结合点到直线的距离公式求解即可.

【解析】
（1）∵圆O：，圆心，半径，

∵直线l：（）与圆O相交于A，B两点，且，

∴圆心O到直线l的距离，

又，，解得，∴直线l的方程为；

（2）∵点E，F分别是圆O与x轴的左、右两个交点，，

∴，，

设，，

则，，，，

，即.

又∵点N在线段上，即，共线，

，

，

∵点M是圆O上任意一点，

，

∴将m，n代入上式，可得，

即.

则点N在以为圆心，半径为的圆R上.

圆心R到直线l：的距离，

又，故点N到直线l：距离的最小值为1.