Question

设函数.

（1）求的单调区间；

（2）设函数，若当时，恒成立，求的取值范围.

Answer

（1）在上是增函数，在上是减函数；（2）

【解析】

（1）求出定义域、，分，两种情况进行讨论，通过解不等式，可得单调区间；

（2）令，则，则问题转化为当时，恒成立，进而转化求函数的最大值问题．求导数，根据极值点与区间的关系进行讨论可求得函数的最大值；

（1）【解析】
因为，其中.所以，

当时，，所以在上是增函数.

当时，令，得，

所以在上是增函数，在上是减函数.

（2）令，则，

根据题意，当时，恒成立.

所以，

①当时，时，恒成立.

所以在上是增函数，且时，，

所以当时，不会恒成立，故不符题意.

②当时，时，恒成立.

所以在上是增函数，且，时，，

所以当时，不会恒成立，故不符题意.

③当时，时，恒有，故在上是减函数，

于是“对任意都成立”的充要条件是，

即，解得，故.

综上所述，的取值范围是.