Question

已知双曲线：经过点，且其中一焦点到一条渐近线的距离为1.

（1）求双曲线的方程；

（2）过点作两条相互垂直的直线，分别交双曲线于，两点，求点到直线距离的最大值.

Answer

（1） （2）

【解析】

（1）将的坐标代入双曲线的方程，再由点到直线的距离公式，可得，解得，进而得到双曲线的方程；

（2）设，，直线的方程为，将代入中，整理得，根据可得的关系，从而将点到直线距离表示成关于的函数，再求最值。

（1）∵双曲线过点，∴.

不妨设为右焦点，则到渐近线的距离，

∴，，

∴所求双曲线的方程为.

（2）设，，直线的方程为.

将代入中，整理得.

∴①，②，

∵，∴，

∴，

∴.③

将①②代入③，得，

∴.而，∴，

从而直线的方程为.

将代入中，

判别式恒成立，

∴即为所求直线，该直线过定点，

当时，点到直线距离取最大值.