Question

已知函数的图象过点，且在点处的切线与直线平行.

（1）求实数，的值；

（2）若对任意的，函数在区间上总不是单调函数，求实数的取值范围.

Answer

（1），； （2）

【解析】

（1）由的图象经过可得，求得的导数，可得切线的斜率，由条件可得的方程，解得，即可得到；

（2）求出函数的导数，结合函数零点存在定理，问题转化为，根据函数的单调性求出的范围即可．

（1）因为函数的图象过点，

所以，所以，即.

因为函数在点处的切线与直线平行，所以，

所以，所以，解得，从而.

（2）由（1）知，，

因为，

所以，

所以，

令，则，此时.

所以有两个不等的实根，，

因为，所以方程有一正一负的两个实根.

又，，又在上总不单调，

所以在上只有一个正实根，

所以 ，所以，所以，

因为，所以.

令，易知在上单调递减，

所以，

所以，解得，

所以实数的取值范围为.