Question

如图，在斜三棱柱中，平面平面，，，，均为正三角形，E为AB的中点.

（1）证明:平面，

（2）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）如图，连接，交于点M，连接ME，则，再利用线面平行的判定定理，即可证明线面平行；

（2）设O是AC的中点，连接，OB，分别以射线OB，OA，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量为，设直线与平面所成的角为，代入公式运算，即可得答案.

（1）如图，连接，交于点M，连接ME，则.

因为平面，平面，所以平面.

（2）设O是AC的中点，连接，OB.因为为正三角形，

所以，又平面平面，平面平面，

所以平面ABC.由已知得.

如图，分别以射线OB，OA，的方向为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，则有，，，，

故，，，

设平面的一个法向量为，则，

所以令，则.

设直线与平面所成的角为，

则，

故直线与平面所成角的正弦值为.