Question

已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，右顶点为，设点．

（Ⅰ）求该椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过原点的直线交椭圆于点，求面积的最大值．

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由已知得椭圆的半长轴，半焦距，则半短轴．

又椭圆的焦点在轴上，∴椭圆的标准方程为．

（Ⅱ）当直线垂直于轴时，，因此的面积．

当直线不垂直于轴时，该直线方程为，代入，

解得B（,），C（－,－），

则，又点A到直线的距离，

∴△ABC的面积．

于是．

由，得，其中当时，等号成立．

∴的最大值是．