Question

如图所示，圆锥的顶点为A，底面的圆心为O，BC是底面圆的一条直径，点D，E在底面圆上，已知，.

（1）证明：；

（2）若二面角的大小为，求直线OC与平面ACE所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析（2）.

【解析】

（1）由可得，易证平面OAC，即可求得（2）建立空间直角坐标系，利用线面角计算公式求解即可.

（1）因为，，所以，

所以.

在圆锥AO中，AO与底面垂直，

所以.

因为，

所以平面OAC，

因为平面OAC，

所以.

（2）由（1）可知0A，OC，OD两两垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系.

则，，.

因为，，所以为二面角的平面角，

所以，从而可得.

所以，，.

设平面ACE的法向量为.

则.令，则.

设直线OC与平面ACE所成的角为，

则.