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已知椭圆的右焦点为F,过点的直线l与E交于A,B两点.当l过点F时,直线l的斜率...

已知椭圆的右焦点为F,过点的直线lE交于AB两点.l过点F时,直线l的斜率为,当l的斜率不存在时,.

1)求椭圆E的方程.

2)以AB为直径的圆是否过定点?若过定点,求出定点的坐标;若不过定点,请说明理由.

 

(1).(2)以AB为直径的圆恒过定点. 【解析】 (1)根据直线的斜率公式求得的值,由,即可求得的值,求得椭圆方程; (2)当直线的斜率存在,设直线的方程,代入椭圆方程,利用韦达定理及以直径的圆的方程,令,即可求得,即可判断以为直径的圆过定点. (1)设椭圆半焦距为c,由题意,所以. l的斜率不存在时,,所以,. 所以椭圆E的方程为. (2)以AB为直径的圆过定点. 理由如下: 当直线的斜率存在时,设的方程,,,,, 联立方程组,消去, 整理得, 所以,, 所以,, 以为直径的圆的方程:, 即, 令,则, 解得或, 所以为直径的圆过定点. 当直线l的斜率不存在时,,, 此时以AB为直径的圆的方程为. 显然过点. 综上可知,以为直径的圆过定点.
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