Question

已知椭圆的离心率为，椭圆上任意一点到椭圆两焦点的距离之和为，

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设直线与椭圆交于两点，是原点，求的面积，

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

（Ⅰ）由题意得：，，，求解即可得出椭圆的方程；

（Ⅱ）直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式、点到直线的距离公式、三角形面积计算公式即看得出.

（Ⅰ）椭圆的离心率为，

椭圆上任意一点到椭圆两焦的距离之和为，

即，所以，，

所以，

所以椭圆的方程.

（Ⅱ）因为直线与椭圆交于两点，

设，，

则联立方程组得：，

则，.

所以

因为原点到直线的距离.

所以的面积为.