Question

已知椭圆方程为，左右焦点分别为，直线过椭圆右焦点且与椭圆交于A、B两点，

（1）若为椭圆上任一点，求的最大值，

（2）求弦AB中点M的轨迹方程，

Answer

（1）3；（2）.

【解析】

（1）根据椭圆方程得出，结合椭圆定义，再根据基本不等式求得的最大值；

（2）设，利用点差法和中点坐标公式，求出，由两点坐标写出，结合，求出关于的方程为点M的轨迹方程.

（1）已知椭圆方程为，焦点在轴上，

可得，

所以，

由椭圆的定义可知，

，

又因为，

则当且仅当时，的最大值为3.

（2）设，其中，

当直线的斜率存在时，

则

①-②得：，

即，又因为：

则有：，解得：.

当直线的斜率不存在时，也符合上述方程.

综上得： 的轨迹方程为：.