Question

如图，已知椭圆的离心率为，左焦点为，过点且斜率为的直线交椭圆于两点．

（1）求椭圆的方程；

（2）求的取值范围；

（3）在轴上，是否存在定点，使恒为定值？若存在，求出点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

（1）根据题意列出关于的方程，直接求出，即可得椭圆的方程；（2）联立直线与椭圆的方程，利用一元二次方程有两个不等的实数解的条件；（3）利用设而不求的方法，设出要求的常数，并利用多项式的恒等条件（相同次项的系数相等）

（1）由已知可得，解得，，

所求的椭圆方程为.

（2）直线的斜率一定存在，设点且斜率为的直线的方程为，

由，得，

则

所以的取值范围是.

（3）设，

则．

又，

，

设存在点，则，，

所以

，

要使得(为常数)，只要，

从而，

即

由（1）得，

代入（2）解得，从而，

故存在定点，使恒为定值.